零的历史

从占位符到推动微积分的形成，“零”，自许多世纪前诞生以来，曾浮现于诸多伟大思想家的脑海，跨越了各种各样的界限。今天，零也许是已知的最为普遍的全球性符号。在关于零的故事中，我们大可“无中生有”一番。

 

零，无，没有——这些词多么频繁地成为一个问题的答案呢？毫无疑问，数之不尽。然而，在这一看似简单、没表达任何含义的答案背后，是关于一个观念的故事，该观念耗时数世纪才逐渐形成，中间跨越了许多国家，并且靠很多思想家的努力才使其为人们所领会。理解和使用零是我们当下世界的基础；无零，则无微积分、金融审计、快速运算的能力、尤其是今日世界互联互通中的电脑。零的故事是关于一种观念的故事，该观念引发了全球伟大思想家的想象。

 

任何人想到一百、两百或七千时，其头脑中的意象是一个阿拉伯数字，后面跟着几个零。零起到了占位符的作用；也就是说，三个零表示七千，而非只有七百。如果我们丢掉一个零，这将会彻底改变该数值。想象一下有人在我们的工资数额上减掉（或增加）一个零！但是，我们今天使用的阿拉伯数制——尽管事实上它最初源自印度——是相对较新的一个制度。数世纪以来，人们用各种各样的记号和符号来标识数量，尽管用这些数制来进行最简单的算术是如此笨拙。

 

苏美尔人最早创制出一种计数系统以记录其货物（如牛、马和驴等）的存量。苏美尔系统是由位置决定的，即某一符号相对于其他符号的位置表明它的值。公元前2500年左右，苏美尔系统为阿卡得人所承袭，后来，在公元前2000年，它又为巴比伦人所继承。是巴比伦人首先设计出表明某个位数不存在的符号，例如在1025中0表明在该数字中没有百位。尽管零的巴比伦祖先是一个很好的开始，但还是等了许多世纪以后，我们现在所知道的那个符号才出现。

 

古希腊著名的数学家从埃及人那里学习数学的基本原理，但却没有给零命名，他们的数制也不像巴比伦人的数制中那样有一个占位符。他们可能思考过这个问题，但是没有结论性证据可以表明其语言中曾存在该符号。是印度人首先把零理解为既是一个符号又是一种观念。

 

公元650年左右，婆罗摩笈多（Brahmagupta）最先使用零来规范算术演算。他用在数字下面加点的方法来表示零。这些点交替地被称作“sunya”，意指空，或被称作“kha”，意指数位。婆罗摩笈多写下了通过加减法得到零的标准规则，以及用零来进行运算所得到的结果。其规则中唯一的错误是用零来进行除法运算，而这是要等牛顿和莱布尼茨来解决的问题。

 

但仍是在数个世纪以后，零才到达欧洲。首先，伟大的阿拉伯航海家们将婆罗摩笈多及其同行所著的书本与香料和其他充满异域风情的物品一起带回家。公元773年，零传播到巴格达，以印度数制为基础的中东阿拉伯数学家们发展了零。公元九世纪，阿尔·花拉子米（Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi）首先研究了等于零的等式，后来被人们称作代数。他还设计出对数字进行快速乘法和除法运算的方法，称为“运算法则”（algorithms，其实是对他的名字的讹传）。阿尔·花拉子米将零称作“sifr”，“cipher”（意为零或密码）一词即由此得来。到公元879年，零的写法几乎与我们现在的写法相同了，它是一个椭圆——但在当时，它比其他数字要小些。由于摩尔人对西班牙的征服，零最终抵达欧洲；到十二世纪中期，阿尔·花拉子米著作的译本迂回前行，到达英国。

 

意大利数学家斐波那契（Fibonacci）         于1202年在其《算经》（Liber Abaci），或《算盘书》（Abacus Book）中以阿尔·花拉子米关于算法的著作为基础继续研究。直到那时，算盘一直是进行算术运算的最为普遍的工具。斐波那契所作的发展，尤其是其对零的使用，很快引起了意大利商人及德国银行家的注意。会计师们知道，当他们的资产与债务的正负数之和为零时，即实现了收支平衡。但各国政府对阿拉伯数字仍疑心重重，因为人们很容易将一个符号改写成另一个符号。尽管被宣布为非法，但商人在其加密的信息中却继续使用零，因此就由阿拉伯词汇sifr得出了cipher一词，其意指密码。

 

下一位使用零的伟大数学家是勒内·笛卡儿，他是笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate system）的奠基人。诚如任何要画一个三角形或一条抛物线的人所知道的，笛卡儿坐标系的原点是（0，0）。尽管零现在变得更为常见了，但微积分的提出者，牛顿和莱布尼茨在对零的理解方面迈出了最后一步。

 

 

 

涉及零的加法、减法及乘法运算相对简单。但零的除法甚至使伟大的思想家也感到困惑不解。数字10是零的几倍呢？或者，两个苹果中有多少个“零”苹果呢？答案是不确定的，但该概念是微积分的关键。例如，一个人驾车去商店，车的速度从来不是恒定的——交通指示灯、交通堵塞和不同的速度限制都会使车加速或减速。但人们如何知道某一特定时刻该车的速度呢？这就需要用到零和微积分。

 

如果你想知道你在某一特定时刻的车速，你必须测量某一特定时段车速的变化。通过使该特定时段越来越短，你就能合理地估计该特定时刻的车速。实际上，当你使时间的改变接近于零时，车速的变化与时间的变化之比近似于零之上的某个数字——同样的问题曾难倒过婆罗摩笈多。

 

在十七世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立解决了该难题，并且向世界展现了无限的可能性。通过运用趋近于零的数字，微积分得以诞生，若没有微积分，我们将不会有物理学和工程学，也不会有经济学和金融学的很多东西。

 

在二十一世纪，人们对零如此熟悉，以至于对它的讨论似乎是无事生非。但恰恰是对“无”的理解和运用才使得文明得以前行。穿越地域、时间和思想的零已然发展成人类社会最伟大的成就之一。由于数学是一种全球语言，而微积分是其最高成就，故零的存在和使用遍及各地。但正像零作为一个意指缺失的符号和概念一样，它仍似乎微不足道。但请回想一下人们对千年虫的恐惧，那么对零的论说似乎就不再是痴人说梦了。